Решить x^2+13x-30=0

$$x ^ { 2 } + 13 x - 30 = 0$$

Найдите x

$$x=-15$$

$$x=2$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}+13x-30 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=13 ab=-30$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 13.

$$a=-2 b=15$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-2\right)\left(x+15\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-2=0 и x+15=0у.

$$x=2 x=-15$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-30. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=13 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 13.

$$a=-2 b=15$$

Перепишите x^{2}+13x-30 как \left(x^{2}-2x\right)+\left(15x-30\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(15x-30\right)$$

Разложите x в первом и 15 в второй группе.

$$x\left(x-2\right)+15\left(x-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-2\right)\left(x+15\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-2=0 и x+15=0у.

$$x=2 x=-15$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}+13x-30=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 13 вместо b и -30 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-30\right)}}{2}$$

Возведите 13 в квадрат.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-30\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -30.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+120}}{2}$$

Прибавьте 169 к 120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{289}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 289.

$$x=\frac{-13±17}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-13±17}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -13 к 17.

$$x=\frac{4}{2}$$

Разделите 4 на 2.

$$x=2$$

Решите уравнение x=\frac{-13±17}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 17 из -13.

$$x=-\frac{30}{2}$$

Разделите -30 на 2.

$$x=-15$$

Уравнение решено.

$$x=2 x=-15$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+13x-30=0$$

Прибавьте 30 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}+13x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Если из -30 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}+13x=-\left(-30\right)$$

Вычтите -30 из 0.

$$x^{2}+13x=30$$

Деление 13, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{13}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{13}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+13x+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{13}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+13x+\frac{169}{4}=30+\frac{169}{4}$$

Прибавьте 30 к \frac{169}{4}.

$$x^{2}+13x+\frac{169}{4}=\frac{289}{4}$$

Коэффициент x^{2}+13x+\frac{169}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{13}{2}=\frac{17}{2} x+\frac{13}{2}=-\frac{17}{2}$$

Вычтите \frac{13}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=2 x=-15$$