Решить n^2-n=240

$$n ^ { 2 } - n = 240$$

Найдите n

$$n=-15$$

$$n=16$$

Способ разложения на множители

Вычтите 240 из обеих частей уравнения.

$$n^{2}-n-240=0$$

Чтобы решить уравнение, фактор n^{2}-n-240 с помощью формулы n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-1 ab=-240$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -1.

$$a=-16 b=15$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(n+a\right)\left(n+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(n-16\right)\left(n+15\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите n-16=0 и n+15=0у.

$$n=16 n=-15$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 240 из обеих частей уравнения.

$$n^{2}-n-240=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: n^{2}+an+bn-240. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-1 ab=1\left(-240\right)=-240$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -1.

$$a=-16 b=15$$

Перепишите n^{2}-n-240 как \left(n^{2}-16n\right)+\left(15n-240\right).

$$\left(n^{2}-16n\right)+\left(15n-240\right)$$

Разложите n в первом и 15 в второй группе.

$$n\left(n-16\right)+15\left(n-16\right)$$

Вынесите за скобки общий член n-16, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(n-16\right)\left(n+15\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите n-16=0 и n+15=0у.

$$n=16 n=-15$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$n^{2}-n=240$$

Вычтите 240 из обеих частей уравнения.

$$n^{2}-n-240=240-240$$

Если из 240 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$n^{2}-n-240=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -1 вместо b и -240 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-240\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -240.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2}$$

Прибавьте 1 к 960.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 961.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±31}{2}$$

Число, противоположное -1, равно 1.

$$n=\frac{1±31}{2}$$

Решите уравнение n=\frac{1±31}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к 31.

$$n=\frac{32}{2}$$

Разделите 32 на 2.

$$n=16$$

Решите уравнение n=\frac{1±31}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 31 из 1.

$$n=-\frac{30}{2}$$

Разделите -30 на 2.

$$n=-15$$

Уравнение решено.

$$n=16 n=-15$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n=240$$

Деление -1, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=240+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=240+\frac{1}{4}$$

Прибавьте 240 к \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{961}{4}$$

Коэффициент n^{2}-n+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{961}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{4}}$$

Упростите.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{31}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{31}{2}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$n=16 n=-15$$