Решить n^2-4019n+2009^2=0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } = 0$$

Найдите n

$$n = \frac{3 \sqrt{893} + 4019}{2} \approx 2054,324658392$$

$$n = \frac{4019 - 3 \sqrt{893}}{2} \approx 1964,675341608$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Вычислите 2009 в степени 2 и получите 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -4019 вместо b и 4036081 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 4036081}}{2}$$

Возведите -4019 в квадрат.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{16152361-4\times 4036081}}{2}$$

Умножьте -4 на 4036081.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{16152361-16144324}}{2}$$

Прибавьте 16152361 к -16144324.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{8037}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 8037.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±3\sqrt{893}}{2}$$

Число, противоположное -4019, равно 4019.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Решите уравнение n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 4019 к 3\sqrt{893}.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}$$

Решите уравнение n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 3\sqrt{893} из 4019.

$$n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Уравнение решено.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Вычислите 2009 в степени 2 и получите 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Вычтите 4036081 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$n^{2}-4019n=-4036081$$

Деление -4019, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{4019}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{4019}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$n^{2}-4019n+\left(-\frac{4019}{2}\right)^{2}=-4036081+\left(-\frac{4019}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{4019}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}=-4036081+\frac{16152361}{4}$$

Прибавьте -4036081 к \frac{16152361}{4}.

$$n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}=\frac{8037}{4}$$

Коэффициент n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{4019}{2}\right)^{2}=\frac{8037}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(n-\frac{4019}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8037}{4}}$$

Упростите.

$$n-\frac{4019}{2}=\frac{3\sqrt{893}}{2} n-\frac{4019}{2}=-\frac{3\sqrt{893}}{2}$$

Прибавьте \frac{4019}{2} к обеим частям уравнения.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$