Решить f^2-3f=-5

$$f ^ { 2 } - 3 f = - 5$$

Найдите f

$$f=\frac{3+\sqrt{11}i}{2}\approx 1,5+1,658312395i$$

$$f=\frac{-\sqrt{11}i+3}{2}\approx 1,5-1,658312395i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$f^{2}-3f=-5$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$f^{2}-3f-\left(-5\right)=-5-\left(-5\right)$$

Если из -5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$f^{2}-3f-\left(-5\right)=0$$

Вычтите -5 из 0.

$$f^{2}-3f+5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -3 вместо b и 5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$f=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5}}{2}$$

Возведите -3 в квадрат.

$$f=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5}}{2}$$

Умножьте -4 на 5.

$$f=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20}}{2}$$

Прибавьте 9 к -20.

$$f=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-11}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из -11.

$$f=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{11}i}{2}$$

Число, противоположное -3, равно 3.

$$f=\frac{3±\sqrt{11}i}{2}$$

Решите уравнение f=\frac{3±\sqrt{11}i}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 3 к i\sqrt{11}.

$$f=\frac{3+\sqrt{11}i}{2}$$

Решите уравнение f=\frac{3±\sqrt{11}i}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{11} из 3.

$$f=\frac{-\sqrt{11}i+3}{2}$$

Уравнение решено.

$$f=\frac{3+\sqrt{11}i}{2} f=\frac{-\sqrt{11}i+3}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$f^{2}-3f=-5$$

Деление -3, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$f^{2}-3f+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-5+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$f^{2}-3f+\frac{9}{4}=-5+\frac{9}{4}$$

Прибавьте -5 к \frac{9}{4}.

$$f^{2}-3f+\frac{9}{4}=-\frac{11}{4}$$

Коэффициент f^{2}-3f+\frac{9}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(f-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(f-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

Упростите.

$$f-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} f-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

Прибавьте \frac{3}{2} к обеим частям уравнения.

$$f=\frac{3+\sqrt{11}i}{2} f=\frac{-\sqrt{11}i+3}{2}$$