Решить a^2-a-1=0

$$a ^ { 2 } - a - 1 = 0$$

Найдите a

$$a = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$a^{2}-a-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -1 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -1.

$$a=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2}$$

Прибавьте 1 к 4.

$$a=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2}$$

Число, противоположное -1, равно 1.

$$a=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Решите уравнение a=\frac{1±\sqrt{5}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к \sqrt{5}.

$$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Решите уравнение a=\frac{1±\sqrt{5}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{5} из 1.

$$a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Уравнение решено.

$$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2} a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$a^{2}-a-1=0$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$a^{2}-a-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Если из -1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$a^{2}-a=-\left(-1\right)$$

Вычтите -1 из 0.

$$a^{2}-a=1$$

Деление -1, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$a^{2}-a+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$a^{2}-a+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Прибавьте 1 к \frac{1}{4}.

$$a^{2}-a+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Коэффициент a^{2}-a+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(a-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Упростите.

$$a-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} a-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2} a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$