Решить 9y^2+75y-54

$$9 y ^ { 2 } + 75 y - 54$$

Разложить на множители

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Действия по решению

Вынесите 3 за скобки.

$$3\left(3y^{2}+25y-18\right)$$

Учтите 3y^{2}+25y-18. Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 3y^{2}+ay+by-18. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=25 ab=3\left(-18\right)=-54$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -54.

$$-1,54 -2,27 -3,18 -6,9$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+54=53 -2+27=25 -3+18=15 -6+9=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 25.

$$a=-2 b=27$$

Перепишите 3y^{2}+25y-18 как \left(3y^{2}-2y\right)+\left(27y-18\right).

$$\left(3y^{2}-2y\right)+\left(27y-18\right)$$

Разложите y в первом и 9 в второй группе.

$$y\left(3y-2\right)+9\left(3y-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3y-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Перепишите полное разложенное на множители выражение.

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$9y^{2}+75y-54=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$y=\frac{-75±\sqrt{75^{2}-4\times 9\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

Возведите 75 в квадрат.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625-4\times 9\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

Умножьте -4 на 9.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625-36\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

Умножьте -36 на -54.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625+1944}}{2\times 9}$$

Прибавьте 5625 к 1944.

$$y=\frac{-75±\sqrt{7569}}{2\times 9}$$

Извлеките квадратный корень из 7569.

$$y=\frac{-75±87}{2\times 9}$$

Умножьте 2 на 9.

$$y=\frac{-75±87}{18}$$

Решите уравнение y=\frac{-75±87}{18} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -75 к 87.

$$y=\frac{12}{18}$$

Привести дробь \frac{12}{18} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$y=\frac{2}{3}$$

Решите уравнение y=\frac{-75±87}{18} при условии, что ± — минус. Вычтите 87 из -75.

$$y=-\frac{162}{18}$$

Разделите -162 на 18.

$$y=-9$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{2}{3} вместо x_{1} и -9 вместо x_{2}.

$$9y^{2}+75y-54=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y-\left(-9\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$9y^{2}+75y-54=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y+9\right)$$

Вычтите \frac{2}{3} из y. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$9y^{2}+75y-54=9\times \frac{3y-2}{3}\left(y+9\right)$$

Сократите наибольший общий делитель 3 в 9 и 3.

$$9y^{2}+75y-54=3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Вычислить

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$