Решить 9x^2-160x-36=0

$$9 x ^ { 2 } - 160 x - 36 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{2}{9}\approx -0,222222222$$

$$x=18$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 9x^{2}+ax+bx-36. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-160 ab=9\left(-36\right)=-324$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -324.

$$1,-324 2,-162 3,-108 4,-81 6,-54 9,-36 12,-27 18,-18$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-324=-323 2-162=-160 3-108=-105 4-81=-77 6-54=-48 9-36=-27 12-27=-15 18-18=0$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -160.

$$a=-162 b=2$$

Перепишите 9x^{2}-160x-36 как \left(9x^{2}-162x\right)+\left(2x-36\right).

$$\left(9x^{2}-162x\right)+\left(2x-36\right)$$

Разложите 9x в первом и 2 в второй группе.

$$9x\left(x-18\right)+2\left(x-18\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-18, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-18\right)\left(9x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-18=0 и 9x+2=0у.

$$x=18 x=-\frac{2}{9}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$9x^{2}-160x-36=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 9 вместо a, -160 вместо b и -36 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{\left(-160\right)^{2}-4\times 9\left(-36\right)}}{2\times 9}$$

Возведите -160 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600-4\times 9\left(-36\right)}}{2\times 9}$$

Умножьте -4 на 9.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600-36\left(-36\right)}}{2\times 9}$$

Умножьте -36 на -36.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600+1296}}{2\times 9}$$

Прибавьте 25600 к 1296.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{26896}}{2\times 9}$$

Извлеките квадратный корень из 26896.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±164}{2\times 9}$$

Число, противоположное -160, равно 160.

$$x=\frac{160±164}{2\times 9}$$

Умножьте 2 на 9.

$$x=\frac{160±164}{18}$$

Решите уравнение x=\frac{160±164}{18} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 160 к 164.

$$x=\frac{324}{18}$$

Разделите 324 на 18.

$$x=18$$

Решите уравнение x=\frac{160±164}{18} при условии, что ± — минус. Вычтите 164 из 160.

$$x=-\frac{4}{18}$$

Привести дробь \frac{-4}{18} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{2}{9}$$

Уравнение решено.

$$x=18 x=-\frac{2}{9}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-160x-36=0$$

Прибавьте 36 к обеим частям уравнения.

$$9x^{2}-160x-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

Если из -36 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$9x^{2}-160x=-\left(-36\right)$$

Вычтите -36 из 0.

$$9x^{2}-160x=36$$

Разделите обе части на 9.

$$\frac{9x^{2}-160x}{9}=\frac{36}{9}$$

Деление на 9 аннулирует операцию умножения на 9.

$$x^{2}-\frac{160}{9}x=\frac{36}{9}$$

Разделите 36 на 9.

$$x^{2}-\frac{160}{9}x=4$$

Деление -\frac{160}{9}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{80}{9}. Затем добавьте квадрат -\frac{80}{9} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{160}{9}x+\left(-\frac{80}{9}\right)^{2}=4+\left(-\frac{80}{9}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{80}{9} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{160}{9}x+\frac{6400}{81}=4+\frac{6400}{81}$$

Прибавьте 4 к \frac{6400}{81}.

$$x^{2}-\frac{160}{9}x+\frac{6400}{81}=\frac{6724}{81}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{160}{9}x+\frac{6400}{81}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{80}{9}\right)^{2}=\frac{6724}{81}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{80}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{6724}{81}}$$

Упростите.

$$x-\frac{80}{9}=\frac{82}{9} x-\frac{80}{9}=-\frac{82}{9}$$

Прибавьте \frac{80}{9} к обеим частям уравнения.

$$x=18 x=-\frac{2}{9}$$