Решить 9x^2+7x+9=25

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

Найдите x

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1,777777778$$

$$x=1$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 25 из обеих частей уравнения.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Вычтите 25 из 9, чтобы получить -16.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 9x^{2}+ax+bx-16. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 7.

$$a=-9 b=16$$

Перепишите 9x^{2}+7x-16 как \left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right).

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

Разложите 9x в первом и 16 в второй группе.

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-1=0 и 9x+16=0у.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Вычтите 25 из обеих частей уравнения.

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

Если из 25 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Вычтите 25 из 9.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 9 вместо a, 7 вместо b и -16 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Возведите 7 в квадрат.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Умножьте -4 на 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Умножьте -36 на -16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

Прибавьте 49 к 576.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

Извлеките квадратный корень из 625.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

Умножьте 2 на 9.

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

Решите уравнение x=\frac{-7±25}{18} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -7 к 25.

$$x=\frac{18}{18}$$

Разделите 18 на 18.

$$x=1$$

Решите уравнение x=\frac{-7±25}{18} при условии, что ± — минус. Вычтите 25 из -7.

$$x=-\frac{32}{18}$$

Привести дробь \frac{-32}{18} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{16}{9}$$

Уравнение решено.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

Если из 9 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$9x^{2}+7x=25-9$$

Вычтите 9 из 25.

$$9x^{2}+7x=16$$

Разделите обе части на 9.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

Деление на 9 аннулирует операцию умножения на 9.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

Деление \frac{7}{9}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{7}{18}. Затем добавьте квадрат \frac{7}{18} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

Возведите \frac{7}{18} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

Прибавьте \frac{16}{9} к \frac{49}{324}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

Упростите.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

Вычтите \frac{7}{18} из обеих частей уравнения.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$