Решить 9n^2-33n-1456=0

$$9 n ^ { 2 } - 33 n - 1456 = 0$$

Найдите n

$$n = \frac{\sqrt{5945} + 11}{6} \approx 14,683971017$$

$$n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}\approx -11,017304351$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$9n^{2}-33n-1456=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 9 вместо a, -33 вместо b и -1456 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{\left(-33\right)^{2}-4\times 9\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

Возведите -33 в квадрат.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-4\times 9\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

Умножьте -4 на 9.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-36\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

Умножьте -36 на -1456.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089+52416}}{2\times 9}$$

Прибавьте 1089 к 52416.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{53505}}{2\times 9}$$

Извлеките квадратный корень из 53505.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±3\sqrt{5945}}{2\times 9}$$

Число, противоположное -33, равно 33.

$$n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{2\times 9}$$

Умножьте 2 на 9.

$$n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18}$$

Решите уравнение n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 33 к 3\sqrt{5945}.

$$n=\frac{3\sqrt{5945}+33}{18}$$

Разделите 33+3\sqrt{5945} на 18.

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6}$$

Решите уравнение n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18} при условии, что ± — минус. Вычтите 3\sqrt{5945} из 33.

$$n=\frac{33-3\sqrt{5945}}{18}$$

Разделите 33-3\sqrt{5945} на 18.

$$n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$

Уравнение решено.

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6} n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$9n^{2}-33n-1456=0$$

Прибавьте 1456 к обеим частям уравнения.

$$9n^{2}-33n-1456-\left(-1456\right)=-\left(-1456\right)$$

Если из -1456 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$9n^{2}-33n=-\left(-1456\right)$$

Вычтите -1456 из 0.

$$9n^{2}-33n=1456$$

Разделите обе части на 9.

$$\frac{9n^{2}-33n}{9}=\frac{1456}{9}$$

Деление на 9 аннулирует операцию умножения на 9.

$$n^{2}+\left(-\frac{33}{9}\right)n=\frac{1456}{9}$$

Привести дробь \frac{-33}{9} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n=\frac{1456}{9}$$

Деление -\frac{11}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{11}{6}. Затем добавьте квадрат -\frac{11}{6} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{1456}{9}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{11}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{1456}{9}+\frac{121}{36}$$

Прибавьте \frac{1456}{9} к \frac{121}{36}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{5945}{36}$$

Коэффициент n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{5945}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5945}{36}}$$

Упростите.

$$n-\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{5945}}{6} n-\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{5945}}{6}$$

Прибавьте \frac{11}{6} к обеим частям уравнения.

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6} n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$