Решить 9a^2+24a+16=0

$$9 a ^ { 2 } + 24 a + 16 = 0$$

Найдите a

$$a = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 9a^{2}+aa+ba+16. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=24 ab=9\times 16=144$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 24.

$$a=12 b=12$$

Перепишите 9a^{2}+24a+16 как \left(9a^{2}+12a\right)+\left(12a+16\right).

$$\left(9a^{2}+12a\right)+\left(12a+16\right)$$

Разложите 3a в первом и 4 в второй группе.

$$3a\left(3a+4\right)+4\left(3a+4\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3a+4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3a+4\right)\left(3a+4\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(3a+4\right)^{2}$$

Чтобы найти решение уравнения, решите следующее: 3a+4=0.

$$a=-\frac{4}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$9a^{2}+24a+16=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 9 вместо a, 24 вместо b и 16 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Возведите 24 в квадрат.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Умножьте -4 на 9.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-36\times 16}}{2\times 9}$$

Умножьте -36 на 16.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-576}}{2\times 9}$$

Прибавьте 576 к -576.

$$a=\frac{-24±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$a=-\frac{24}{2\times 9}$$

Умножьте 2 на 9.

$$a=-\frac{24}{18}$$

Привести дробь \frac{-24}{18} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$a=-\frac{4}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$9a^{2}+24a+16=0$$

Вычтите 16 из обеих частей уравнения.

$$9a^{2}+24a+16-16=-16$$

Если из 16 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$9a^{2}+24a=-16$$

Разделите обе части на 9.

$$\frac{9a^{2}+24a}{9}=-\frac{16}{9}$$

Деление на 9 аннулирует операцию умножения на 9.

$$a^{2}+\frac{24}{9}a=-\frac{16}{9}$$

Привести дробь \frac{24}{9} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a=-\frac{16}{9}$$

Деление \frac{8}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{4}{3}. Затем добавьте квадрат \frac{4}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Возведите \frac{4}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}=\frac{-16+16}{9}$$

Прибавьте -\frac{16}{9} к \frac{16}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}=0$$

Коэффициент a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{4}{3}\right)^{2}=0$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(a+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Упростите.

$$a+\frac{4}{3}=0 a+\frac{4}{3}=0$$

Вычтите \frac{4}{3} из обеих частей уравнения.

$$a=-\frac{4}{3} a=-\frac{4}{3}$$

Уравнение решено. Решения совпадают.

$$a=-\frac{4}{3}$$