Решить 9y^2=12y-4

$$9 { y }^{ 2 } = 12y-4$$

Найдите y

$$y=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 12y из обеих частей уравнения.

$$9y^{2}-12y=-4$$

Прибавьте 4 к обеим частям.

$$9y^{2}-12y+4=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 9y^{2}+ay+by+4. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -12.

$$a=-6 b=-6$$

Перепишите 9y^{2}-12y+4 как \left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right).

$$\left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right)$$

Разложите 3y в первом и -2 в второй группе.

$$3y\left(3y-2\right)-2\left(3y-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3y-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

Чтобы найти решение уравнения, решите следующее: 3y-2=0.

$$y=\frac{2}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Вычтите 12y из обеих частей уравнения.

$$9y^{2}-12y=-4$$

Прибавьте 4 к обеим частям.

$$9y^{2}-12y+4=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 9 вместо a, -12 вместо b и 4 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Возведите -12 в квадрат.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Умножьте -4 на 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

Умножьте -36 на 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

Прибавьте 144 к -144.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$y=-\frac{-12}{2\times 9}$$

Число, противоположное -12, равно 12.

$$y=\frac{12}{2\times 9}$$

Умножьте 2 на 9.

$$y=\frac{12}{18}$$

Привести дробь \frac{12}{18} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$y=\frac{2}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Вычтите 12y из обеих частей уравнения.

$$9y^{2}-12y=-4$$

Разделите обе части на 9.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{4}{9}$$

Деление на 9 аннулирует операцию умножения на 9.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{4}{9}$$

Привести дробь \frac{-12}{9} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{4}{9}$$

Деление -\frac{4}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{2}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{2}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{2}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

Прибавьте -\frac{4}{9} к \frac{4}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=0$$

Коэффициент y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Упростите.

$$y-\frac{2}{3}=0 y-\frac{2}{3}=0$$

Прибавьте \frac{2}{3} к обеим частям уравнения.

$$y=\frac{2}{3} y=\frac{2}{3}$$

Уравнение решено. Решения совпадают.

$$y=\frac{2}{3}$$