Решить 8x^2+2x-3=0

$$8 x ^ { 2 } + 2 x - 3 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 8x^{2}+ax+bx-3. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=2 ab=8\left(-3\right)=-24$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 2.

$$a=-4 b=6$$

Перепишите 8x^{2}+2x-3 как \left(8x^{2}-4x\right)+\left(6x-3\right).

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(6x-3\right)$$

Разложите 4x в первом и 3 в второй группе.

$$4x\left(2x-1\right)+3\left(2x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-1=0 и 4x+3=0у.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$8x^{2}+2x-3=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 8 вместо a, 2 вместо b и -3 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Возведите 2 в квадрат.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Умножьте -4 на 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-32\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Умножьте -32 на -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+96}}{2\times 8}$$

Прибавьте 4 к 96.

$$x=\frac{-2±\sqrt{100}}{2\times 8}$$

Извлеките квадратный корень из 100.

$$x=\frac{-2±10}{2\times 8}$$

Умножьте 2 на 8.

$$x=\frac{-2±10}{16}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±10}{16} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -2 к 10.

$$x=\frac{8}{16}$$

Привести дробь \frac{8}{16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±10}{16} при условии, что ± — минус. Вычтите 10 из -2.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Привести дробь \frac{-12}{16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+2x-3=0$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$8x^{2}+2x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Если из -3 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$8x^{2}+2x=-\left(-3\right)$$

Вычтите -3 из 0.

$$8x^{2}+2x=3$$

Разделите обе части на 8.

$$\frac{8x^{2}+2x}{8}=\frac{3}{8}$$

Деление на 8 аннулирует операцию умножения на 8.

$$x^{2}+\frac{2}{8}x=\frac{3}{8}$$

Привести дробь \frac{2}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{3}{8}$$

Деление \frac{1}{4}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{8}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{8} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{3}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{3}{8}+\frac{1}{64}$$

Прибавьте \frac{3}{8} к \frac{1}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{25}{64}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{5}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{5}{8}$$

Вычтите \frac{1}{8} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{4}$$