Решить 8b^2-2b-3

$$8 b ^ { 2 } - 2 b - 3$$

Разложить на множители

$$\left(4b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 8b^{2}+pb+qb-3. Чтобы найти p и q, настройте систему на ее устранение.

$$p+q=-2 pq=8\left(-3\right)=-24$$

Так как pq является отрицательным, p и q имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения p+q отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -2.

$$p=-6 q=4$$

Перепишите 8b^{2}-2b-3 как \left(8b^{2}-6b\right)+\left(4b-3\right).

$$\left(8b^{2}-6b\right)+\left(4b-3\right)$$

Вынесите за скобки 2b в 8b^{2}-6b.

$$2b\left(4b-3\right)+4b-3$$

Вынесите за скобки общий член 4b-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(4b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$8b^{2}-2b-3=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$b=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$b=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Умножьте -4 на 8.

$$b=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-32\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Умножьте -32 на -3.

$$b=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+96}}{2\times 8}$$

Прибавьте 4 к 96.

$$b=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{100}}{2\times 8}$$

Извлеките квадратный корень из 100.

$$b=\frac{-\left(-2\right)±10}{2\times 8}$$

Число, противоположное -2, равно 2.

$$b=\frac{2±10}{2\times 8}$$

Умножьте 2 на 8.

$$b=\frac{2±10}{16}$$

Решите уравнение b=\frac{2±10}{16} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 2 к 10.

$$b=\frac{12}{16}$$

Привести дробь \frac{12}{16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$b=\frac{3}{4}$$

Решите уравнение b=\frac{2±10}{16} при условии, что ± — минус. Вычтите 10 из 2.

$$b=-\frac{8}{16}$$

Привести дробь \frac{-8}{16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$b=-\frac{1}{2}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{3}{4} вместо x_{1} и -\frac{1}{2} вместо x_{2}.

$$8b^{2}-2b-3=8\left(b-\frac{3}{4}\right)\left(b-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$8b^{2}-2b-3=8\left(b-\frac{3}{4}\right)\left(b+\frac{1}{2}\right)$$

Вычтите \frac{3}{4} из b. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$8b^{2}-2b-3=8\times \frac{4b-3}{4}\left(b+\frac{1}{2}\right)$$

Прибавьте \frac{1}{2} к b, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$8b^{2}-2b-3=8\times \frac{4b-3}{4}\times \frac{2b+1}{2}$$

Умножьте \frac{4b-3}{4} на \frac{2b+1}{2}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$8b^{2}-2b-3=8\times \frac{\left(4b-3\right)\left(2b+1\right)}{4\times 2}$$

Умножьте 4 на 2.

$$8b^{2}-2b-3=8\times \frac{\left(4b-3\right)\left(2b+1\right)}{8}$$

Сократите наибольший общий делитель 8 в 8 и 8.

$$8b^{2}-2b-3=\left(4b-3\right)\left(2b+1\right)$$

Вычислить

$$\left(4b-3\right)\left(2b+1\right)$$