Решить 8x^2=30x+27

$$8 { x }^{ 2 } =30x+27$$

Найдите x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 30x из обеих частей уравнения.

$$8x^{2}-30x=27$$

Вычтите 27 из обеих частей уравнения.

$$8x^{2}-30x-27=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 8x^{2}+ax+bx-27. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-30 ab=8\left(-27\right)=-216$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -216.

$$1,-216 2,-108 3,-72 4,-54 6,-36 8,-27 9,-24 12,-18$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-216=-215 2-108=-106 3-72=-69 4-54=-50 6-36=-30 8-27=-19 9-24=-15 12-18=-6$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -30.

$$a=-36 b=6$$

Перепишите 8x^{2}-30x-27 как \left(8x^{2}-36x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(8x^{2}-36x\right)+\left(6x-27\right)$$

Разложите 4x в первом и 3 в второй группе.

$$4x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-9, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-9\right)\left(4x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-9=0 и 4x+3=0у.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Вычтите 30x из обеих частей уравнения.

$$8x^{2}-30x=27$$

Вычтите 27 из обеих частей уравнения.

$$8x^{2}-30x-27=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 8 вместо a, -30 вместо b и -27 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 8\left(-27\right)}}{2\times 8}$$

Возведите -30 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 8\left(-27\right)}}{2\times 8}$$

Умножьте -4 на 8.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-32\left(-27\right)}}{2\times 8}$$

Умножьте -32 на -27.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900+864}}{2\times 8}$$

Прибавьте 900 к 864.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{1764}}{2\times 8}$$

Извлеките квадратный корень из 1764.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±42}{2\times 8}$$

Число, противоположное -30, равно 30.

$$x=\frac{30±42}{2\times 8}$$

Умножьте 2 на 8.

$$x=\frac{30±42}{16}$$

Решите уравнение x=\frac{30±42}{16} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 30 к 42.

$$x=\frac{72}{16}$$

Привести дробь \frac{72}{16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$x=\frac{9}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{30±42}{16} при условии, что ± — минус. Вычтите 42 из 30.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Привести дробь \frac{-12}{16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Вычтите 30x из обеих частей уравнения.

$$8x^{2}-30x=27$$

Разделите обе части на 8.

$$\frac{8x^{2}-30x}{8}=\frac{27}{8}$$

Деление на 8 аннулирует операцию умножения на 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{8}\right)x=\frac{27}{8}$$

Привести дробь \frac{-30}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x=\frac{27}{8}$$

Деление -\frac{15}{4}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{15}{8}. Затем добавьте квадрат -\frac{15}{8} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{27}{8}+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{15}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{27}{8}+\frac{225}{64}$$

Прибавьте \frac{27}{8} к \frac{225}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{441}{64}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

Упростите.

$$x-\frac{15}{8}=\frac{21}{8} x-\frac{15}{8}=-\frac{21}{8}$$

Прибавьте \frac{15}{8} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{4}$$