Решить 7n^2+39n-18=0

$$7 n ^ { 2 } + 39 n - 18 = 0$$

Найдите n

$$n=-6$$

$$n=\frac{3}{7}\approx 0,428571429$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 7n^{2}+an+bn-18. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=39 ab=7\left(-18\right)=-126$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -126.

$$-1,126 -2,63 -3,42 -6,21 -7,18 -9,14$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+126=125 -2+63=61 -3+42=39 -6+21=15 -7+18=11 -9+14=5$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 39.

$$a=-3 b=42$$

Перепишите 7n^{2}+39n-18 как \left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right).

$$\left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right)$$

Разложите n в первом и 6 в второй группе.

$$n\left(7n-3\right)+6\left(7n-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член 7n-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(7n-3\right)\left(n+6\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 7n-3=0 и n+6=0у.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$7n^{2}+39n-18=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 7 вместо a, 39 вместо b и -18 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Возведите 39 в квадрат.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Умножьте -4 на 7.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-28\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Умножьте -28 на -18.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521+504}}{2\times 7}$$

Прибавьте 1521 к 504.

$$n=\frac{-39±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Извлеките квадратный корень из 2025.

$$n=\frac{-39±45}{2\times 7}$$

Умножьте 2 на 7.

$$n=\frac{-39±45}{14}$$

Решите уравнение n=\frac{-39±45}{14} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -39 к 45.

$$n=\frac{6}{14}$$

Привести дробь \frac{6}{14} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$n=\frac{3}{7}$$

Решите уравнение n=\frac{-39±45}{14} при условии, что ± — минус. Вычтите 45 из -39.

$$n=-\frac{84}{14}$$

Разделите -84 на 14.

$$n=-6$$

Уравнение решено.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$7n^{2}+39n-18=0$$

Прибавьте 18 к обеим частям уравнения.

$$7n^{2}+39n-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Если из -18 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$7n^{2}+39n=-\left(-18\right)$$

Вычтите -18 из 0.

$$7n^{2}+39n=18$$

Разделите обе части на 7.

$$\frac{7n^{2}+39n}{7}=\frac{18}{7}$$

Деление на 7 аннулирует операцию умножения на 7.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n=\frac{18}{7}$$

Деление \frac{39}{7}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{39}{14}. Затем добавьте квадрат \frac{39}{14} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{18}{7}+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}$$

Возведите \frac{39}{14} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{18}{7}+\frac{1521}{196}$$

Прибавьте \frac{18}{7} к \frac{1521}{196}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{2025}{196}$$

Коэффициент n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Упростите.

$$n+\frac{39}{14}=\frac{45}{14} n+\frac{39}{14}=-\frac{45}{14}$$

Вычтите \frac{39}{14} из обеих частей уравнения.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$