Решить 636=5n+4n^2

$$636 = 5 n + 4 n ^ { 2 }$$

Найдите n

$$n = -\frac{53}{4} = -13\frac{1}{4} = -13,25$$

$$n=12$$

Способ разложения на множители путем группировки

Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$5n+4n^{2}=636$$

Вычтите 636 из обеих частей уравнения.

$$5n+4n^{2}-636=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$4n^{2}+5n-636=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4n^{2}+an+bn-636. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=5 ab=4\left(-636\right)=-2544$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -2544.

$$-1,2544 -2,1272 -3,848 -4,636 -6,424 -8,318 -12,212 -16,159 -24,106 -48,53$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+2544=2543 -2+1272=1270 -3+848=845 -4+636=632 -6+424=418 -8+318=310 -12+212=200 -16+159=143 -24+106=82 -48+53=5$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 5.

$$a=-48 b=53$$

Перепишите 4n^{2}+5n-636 как \left(4n^{2}-48n\right)+\left(53n-636\right).

$$\left(4n^{2}-48n\right)+\left(53n-636\right)$$

Разложите 4n в первом и 53 в второй группе.

$$4n\left(n-12\right)+53\left(n-12\right)$$

Вынесите за скобки общий член n-12, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(n-12\right)\left(4n+53\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите n-12=0 и 4n+53=0у.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$5n+4n^{2}=636$$

Вычтите 636 из обеих частей уравнения.

$$5n+4n^{2}-636=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4n^{2}+5n-636=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 5 вместо b и -636 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 4\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Возведите 5 в квадрат.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 4\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-16\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -636.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25+10176}}{2\times 4}$$

Прибавьте 25 к 10176.

$$n=\frac{-5±\sqrt{10201}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 10201.

$$n=\frac{-5±101}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$n=\frac{-5±101}{8}$$

Решите уравнение n=\frac{-5±101}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -5 к 101.

$$n=\frac{96}{8}$$

Разделите 96 на 8.

$$n=12$$

Решите уравнение n=\frac{-5±101}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 101 из -5.

$$n=-\frac{106}{8}$$

Привести дробь \frac{-106}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$n=-\frac{53}{4}$$

Уравнение решено.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$5n+4n^{2}=636$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}+5n=636$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4n^{2}+5n}{4}=\frac{636}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n=\frac{636}{4}$$

Разделите 636 на 4.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n=159$$

Деление \frac{5}{4}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{5}{8}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{8} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=159+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}=159+\frac{25}{64}$$

Прибавьте 159 к \frac{25}{64}.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}=\frac{10201}{64}$$

Коэффициент n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{10201}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10201}{64}}$$

Упростите.

$$n+\frac{5}{8}=\frac{101}{8} n+\frac{5}{8}=-\frac{101}{8}$$

Вычтите \frac{5}{8} из обеих частей уравнения.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$