Решить 6x^5+13x^4-18x^3-37x^2+16x+20=0

$$6 { x }^{ 5 } +13 { x }^{ 4 } -18 { x }^{ 3 } -37 { x }^{ 2 } +16x+20 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{41} - 1}{4} \approx 1,350781059$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}\approx -1,850781059$$

$$x=1$$

$$x=-2$$

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Действия по решению

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 20, а q делит старший коэффициент 6. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±\frac{10}{3},±\frac{20}{3},±10,±20,±\frac{5}{3},±5,±\frac{5}{6},±\frac{5}{2},±\frac{2}{3},±\frac{4}{3},±2,±4,±\frac{1}{3},±1,±\frac{1}{6},±\frac{1}{2}$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=1$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите 6x^{5}+13x^{4}-18x^{3}-37x^{2}+16x+20 на x-1, чтобы получить 6x^{4}+19x^{3}+x^{2}-36x-20. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$6x^{4}+19x^{3}+x^{2}-36x-20=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -20, а q делит старший коэффициент 6. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±\frac{10}{3},±\frac{20}{3},±10,±20,±\frac{5}{3},±5,±\frac{5}{6},±\frac{5}{2},±\frac{2}{3},±\frac{4}{3},±2,±4,±\frac{1}{3},±1,±\frac{1}{6},±\frac{1}{2}$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=-2$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите 6x^{4}+19x^{3}+x^{2}-36x-20 на x+2, чтобы получить 6x^{3}+7x^{2}-13x-10. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$6x^{3}+7x^{2}-13x-10=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -10, а q делит старший коэффициент 6. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±\frac{5}{3},±\frac{10}{3},±5,±10,±\frac{5}{6},±\frac{5}{2},±\frac{1}{3},±\frac{2}{3},±1,±2,±\frac{1}{6},±\frac{1}{2}$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=-\frac{2}{3}$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите 6x^{3}+7x^{2}-13x-10 на 3\left(x+\frac{2}{3}\right)=3x+2, чтобы получить 2x^{2}+x-5. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$2x^{2}+x-5=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 2, b на 1 и c на -5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{-1±\sqrt{41}}{4}$$

Решение 2x^{2}+x-5=0 уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=\frac{-\sqrt{41}-1}{4} x=\frac{\sqrt{41}-1}{4}$$

Перечислите все найденные решения.

$$x=1 x=-2 x=-\frac{2}{3} x=\frac{-\sqrt{41}-1}{4} x=\frac{\sqrt{41}-1}{4}$$