Решить 6x^2+37x-13=0

$$6 { x }^{ 2 } +37x-13=0$$

Найдите x

$$x = -\frac{13}{2} = -6\frac{1}{2} = -6,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 6x^{2}+ax+bx-13. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=37 ab=6\left(-13\right)=-78$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -78.

$$-1,78 -2,39 -3,26 -6,13$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+78=77 -2+39=37 -3+26=23 -6+13=7$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 37.

$$a=-2 b=39$$

Перепишите 6x^{2}+37x-13 как \left(6x^{2}-2x\right)+\left(39x-13\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(39x-13\right)$$

Разложите 2x в первом и 13 в второй группе.

$$2x\left(3x-1\right)+13\left(3x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+13\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3x-1=0 и 2x+13=0у.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{13}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$6x^{2}+37x-13=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 6 вместо a, 37 вместо b и -13 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-37±\sqrt{37^{2}-4\times 6\left(-13\right)}}{2\times 6}$$

Возведите 37 в квадрат.

$$x=\frac{-37±\sqrt{1369-4\times 6\left(-13\right)}}{2\times 6}$$

Умножьте -4 на 6.

$$x=\frac{-37±\sqrt{1369-24\left(-13\right)}}{2\times 6}$$

Умножьте -24 на -13.

$$x=\frac{-37±\sqrt{1369+312}}{2\times 6}$$

Прибавьте 1369 к 312.

$$x=\frac{-37±\sqrt{1681}}{2\times 6}$$

Извлеките квадратный корень из 1681.

$$x=\frac{-37±41}{2\times 6}$$

Умножьте 2 на 6.

$$x=\frac{-37±41}{12}$$

Решите уравнение x=\frac{-37±41}{12} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -37 к 41.

$$x=\frac{4}{12}$$

Привести дробь \frac{4}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-37±41}{12} при условии, что ± — минус. Вычтите 41 из -37.

$$x=-\frac{78}{12}$$

Привести дробь \frac{-78}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=-\frac{13}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{13}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+37x-13=0$$

Прибавьте 13 к обеим частям уравнения.

$$6x^{2}+37x-13-\left(-13\right)=-\left(-13\right)$$

Если из -13 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$6x^{2}+37x=-\left(-13\right)$$

Вычтите -13 из 0.

$$6x^{2}+37x=13$$

Разделите обе части на 6.

$$\frac{6x^{2}+37x}{6}=\frac{13}{6}$$

Деление на 6 аннулирует операцию умножения на 6.

$$x^{2}+\frac{37}{6}x=\frac{13}{6}$$

Деление \frac{37}{6}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{37}{12}. Затем добавьте квадрат \frac{37}{12} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{37}{6}x+\left(\frac{37}{12}\right)^{2}=\frac{13}{6}+\left(\frac{37}{12}\right)^{2}$$

Возведите \frac{37}{12} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{37}{6}x+\frac{1369}{144}=\frac{13}{6}+\frac{1369}{144}$$

Прибавьте \frac{13}{6} к \frac{1369}{144}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{37}{6}x+\frac{1369}{144}=\frac{1681}{144}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{37}{6}x+\frac{1369}{144}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{37}{12}\right)^{2}=\frac{1681}{144}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{37}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{144}}$$

Упростите.

$$x+\frac{37}{12}=\frac{41}{12} x+\frac{37}{12}=-\frac{41}{12}$$

Вычтите \frac{37}{12} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{13}{2}$$