Решить 50x-2x^2-300=0

$$50 x - 2 x ^ { 2 } - 300 = 0$$

Найдите x

$$x=10$$

$$x=15$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 2.

$$25x-x^{2}-150=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-x^{2}+25x-150=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -x^{2}+ax+bx-150. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=25 ab=-\left(-150\right)=150$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 150.

$$1,150 2,75 3,50 5,30 6,25 10,15$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+150=151 2+75=77 3+50=53 5+30=35 6+25=31 10+15=25$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 25.

$$a=15 b=10$$

Перепишите -x^{2}+25x-150 как \left(-x^{2}+15x\right)+\left(10x-150\right).

$$\left(-x^{2}+15x\right)+\left(10x-150\right)$$

Разложите -x в первом и 10 в второй группе.

$$-x\left(x-15\right)+10\left(x-15\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-15, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-15\right)\left(-x+10\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-15=0 и -x+10=0у.

$$x=15 x=10$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-2x^{2}+50x-300=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -2 вместо a, 50 вместо b и -300 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\left(-2\right)\left(-300\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Возведите 50 в квадрат.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-4\left(-2\right)\left(-300\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте -4 на -2.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500+8\left(-300\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте 8 на -300.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-2400}}{2\left(-2\right)}$$

Прибавьте 2500 к -2400.

$$x=\frac{-50±\sqrt{100}}{2\left(-2\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 100.

$$x=\frac{-50±10}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте 2 на -2.

$$x=\frac{-50±10}{-4}$$

Решите уравнение x=\frac{-50±10}{-4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -50 к 10.

$$x=-\frac{40}{-4}$$

Разделите -40 на -4.

$$x=10$$

Решите уравнение x=\frac{-50±10}{-4} при условии, что ± — минус. Вычтите 10 из -50.

$$x=-\frac{60}{-4}$$

Разделите -60 на -4.

$$x=15$$

Уравнение решено.

$$x=10 x=15$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+50x-300=0$$

Прибавьте 300 к обеим частям уравнения.

$$-2x^{2}+50x-300-\left(-300\right)=-\left(-300\right)$$

Если из -300 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-2x^{2}+50x=-\left(-300\right)$$

Вычтите -300 из 0.

$$-2x^{2}+50x=300$$

Разделите обе части на -2.

$$\frac{-2x^{2}+50x}{-2}=\frac{300}{-2}$$

Деление на -2 аннулирует операцию умножения на -2.

$$x^{2}+\frac{50}{-2}x=\frac{300}{-2}$$

Разделите 50 на -2.

$$x^{2}-25x=\frac{300}{-2}$$

Разделите 300 на -2.

$$x^{2}-25x=-150$$

Деление -25, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{25}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{25}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-150+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{25}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-150+\frac{625}{4}$$

Прибавьте -150 к \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{25}{4}$$

Коэффициент x^{2}-25x+\frac{625}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{5}{2}$$

Прибавьте \frac{25}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=15 x=10$$