Решить 5x^2-5x-17=0

$$5 x ^ { 2 } - 5 x - 17 = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}\approx 2,410497317$$

$$x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}\approx -1,410497317$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}-5x-17=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -5 вместо b и -17 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 5\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 5\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-20\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -17.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+340}}{2\times 5}$$

Прибавьте 25 к 340.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{365}}{2\times 5}$$

Число, противоположное -5, равно 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{365}}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{365}}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{5±\sqrt{365}}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 5 к \sqrt{365}.

$$x=\frac{\sqrt{365}+5}{10}$$

Разделите 5+\sqrt{365} на 10.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{5±\sqrt{365}}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{365} из 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{365}}{10}$$

Разделите 5-\sqrt{365} на 10.

$$x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-5x-17=0$$

Прибавьте 17 к обеим частям уравнения.

$$5x^{2}-5x-17-\left(-17\right)=-\left(-17\right)$$

Если из -17 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}-5x=-\left(-17\right)$$

Вычтите -17 из 0.

$$5x^{2}-5x=17$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}-5x}{5}=\frac{17}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{5}\right)x=\frac{17}{5}$$

Разделите -5 на 5.

$$x^{2}-x=\frac{17}{5}$$

Деление -1, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{5}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{5}+\frac{1}{4}$$

Прибавьте \frac{17}{5} к \frac{1}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{73}{20}$$

Коэффициент x^{2}-x+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{73}{20}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{20}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{365}}{10} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{365}}{10}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$