Решить 5x^2-4x-1=0

$$5 x ^ { 2 } - 4 x - 1 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=1$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 5x^{2}+ax+bx-1. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-4 ab=5\left(-1\right)=-5$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=-5 b=1$$

Перепишите 5x^{2}-4x-1 как \left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right)$$

Вынесите за скобки 5x в 5x^{2}-5x.

$$5x\left(x-1\right)+x-1$$

Вынесите за скобки общий член x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-1=0 и 5x+1=0у.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -4 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Возведите -4 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+20}}{2\times 5}$$

Прибавьте 16 к 20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{36}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 36.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±6}{2\times 5}$$

Число, противоположное -4, равно 4.

$$x=\frac{4±6}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{4±6}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{4±6}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 4 к 6.

$$x=\frac{10}{10}$$

Разделите 10 на 10.

$$x=1$$

Решите уравнение x=\frac{4±6}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 6 из 4.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Привести дробь \frac{-2}{10} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Уравнение решено.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$5x^{2}-4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Если из -1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}-4x=-\left(-1\right)$$

Вычтите -1 из 0.

$$5x^{2}-4x=1$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=\frac{1}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=\frac{1}{5}$$

Деление -\frac{4}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{2}{5}. Затем добавьте квадрат -\frac{2}{5} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{2}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{1}{5}+\frac{4}{25}$$

Прибавьте \frac{1}{5} к \frac{4}{25}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{9}{25}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}$$

Упростите.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{3}{5}$$

Прибавьте \frac{2}{5} к обеим частям уравнения.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$