Решить 5x^2-35x-90=0

$$5 x ^ { 2 } - 35 x - 90 = 0$$

Найдите x

$$x=-2$$

$$x=9$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 5.

$$x^{2}-7x-18=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-18. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-7 ab=1\left(-18\right)=-18$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -7.

$$a=-9 b=2$$

Перепишите x^{2}-7x-18 как \left(x^{2}-9x\right)+\left(2x-18\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(2x-18\right)$$

Разложите x в первом и 2 в второй группе.

$$x\left(x-9\right)+2\left(x-9\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-9, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-9\right)\left(x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-9=0 и x+2=0у.

$$x=9 x=-2$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}-35x-90=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -35 вместо b и -90 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{\left(-35\right)^{2}-4\times 5\left(-90\right)}}{2\times 5}$$

Возведите -35 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-4\times 5\left(-90\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-20\left(-90\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -90.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225+1800}}{2\times 5}$$

Прибавьте 1225 к 1800.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{3025}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 3025.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±55}{2\times 5}$$

Число, противоположное -35, равно 35.

$$x=\frac{35±55}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{35±55}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{35±55}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 35 к 55.

$$x=\frac{90}{10}$$

Разделите 90 на 10.

$$x=9$$

Решите уравнение x=\frac{35±55}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 55 из 35.

$$x=-\frac{20}{10}$$

Разделите -20 на 10.

$$x=-2$$

Уравнение решено.

$$x=9 x=-2$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-35x-90=0$$

Прибавьте 90 к обеим частям уравнения.

$$5x^{2}-35x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

Если из -90 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}-35x=-\left(-90\right)$$

Вычтите -90 из 0.

$$5x^{2}-35x=90$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}-35x}{5}=\frac{90}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{35}{5}\right)x=\frac{90}{5}$$

Разделите -35 на 5.

$$x^{2}-7x=\frac{90}{5}$$

Разделите 90 на 5.

$$x^{2}-7x=18$$

Деление -7, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{7}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{7}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=18+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{7}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=18+\frac{49}{4}$$

Прибавьте 18 к \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{121}{4}$$

Коэффициент x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{11}{2}$$

Прибавьте \frac{7}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=9 x=-2$$