Решить 5x^2-2x-16=0

$$5 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Найдите x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=2$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 5x^{2}+ax+bx-16. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-2 ab=5\left(-16\right)=-80$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -2.

$$a=-10 b=8$$

Перепишите 5x^{2}-2x-16 как \left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right)$$

Разложите 5x в первом и 8 в второй группе.

$$5x\left(x-2\right)+8\left(x-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-2\right)\left(5x+8\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-2=0 и 5x+8=0у.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -2 вместо b и -16 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 5}$$

Прибавьте 4 к 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 5}$$

Число, противоположное -2, равно 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{2±18}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{2±18}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 2 к 18.

$$x=\frac{20}{10}$$

Разделите 20 на 10.

$$x=2$$

Решите уравнение x=\frac{2±18}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 18 из 2.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Привести дробь \frac{-16}{10} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Уравнение решено.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Прибавьте 16 к обеим частям уравнения.

$$5x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Если из -16 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Вычтите -16 из 0.

$$5x^{2}-2x=16$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=\frac{16}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{16}{5}$$

Деление -\frac{2}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{5}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{5} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{16}{5}+\frac{1}{25}$$

Прибавьте \frac{16}{5} к \frac{1}{25}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{81}{25}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{9}{5}$$

Прибавьте \frac{1}{5} к обеим частям уравнения.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$