Решить 5x^2+8x-4=0

$$5 x ^ { 2 } + 8 x - 4 = 0$$

Найдите x

$$x=-2$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 5x^{2}+ax+bx-4. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=8 ab=5\left(-4\right)=-20$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 8.

$$a=-2 b=10$$

Перепишите 5x^{2}+8x-4 как \left(5x^{2}-2x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(5x^{2}-2x\right)+\left(10x-4\right)$$

Разложите x в первом и 2 в второй группе.

$$x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член 5x-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(5x-2\right)\left(x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 5x-2=0 и x+2=0у.

$$x=\frac{2}{5} x=-2$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}+8x-4=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, 8 вместо b и -4 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Возведите 8 в квадрат.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-20\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+80}}{2\times 5}$$

Прибавьте 64 к 80.

$$x=\frac{-8±\sqrt{144}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 144.

$$x=\frac{-8±12}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{-8±12}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{-8±12}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -8 к 12.

$$x=\frac{4}{10}$$

Привести дробь \frac{4}{10} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{2}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{-8±12}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 12 из -8.

$$x=-\frac{20}{10}$$

Разделите -20 на 10.

$$x=-2$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{2}{5} x=-2$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+8x-4=0$$

Прибавьте 4 к обеим частям уравнения.

$$5x^{2}+8x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Если из -4 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}+8x=-\left(-4\right)$$

Вычтите -4 из 0.

$$5x^{2}+8x=4$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}+8x}{5}=\frac{4}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x=\frac{4}{5}$$

Деление \frac{8}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{4}{5}. Затем добавьте квадрат \frac{4}{5} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Возведите \frac{4}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{4}{5}+\frac{16}{25}$$

Прибавьте \frac{4}{5} к \frac{16}{25}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{36}{25}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{36}{25}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{36}{25}}$$

Упростите.

$$x+\frac{4}{5}=\frac{6}{5} x+\frac{4}{5}=-\frac{6}{5}$$

Вычтите \frac{4}{5} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{2}{5} x=-2$$