Решить 5(x+2)^2=(7x+3)(x+2)

$$5 ( x + 2 ) ^ { 2 } = ( 7 x + 3 ) ( x + 2 )$$

Найдите x

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

$$x=-2$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+2\right)^{2}.

$$5\left(x^{2}+4x+4\right)=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Чтобы умножить 5 на x^{2}+4x+4, используйте свойство дистрибутивности.

$$5x^{2}+20x+20=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Чтобы умножить 7x+3 на x+2, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$5x^{2}+20x+20=7x^{2}+17x+6$$

Вычтите 7x^{2} из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}+20x+20-7x^{2}=17x+6$$

Объедините 5x^{2} и -7x^{2}, чтобы получить -2x^{2}.

$$-2x^{2}+20x+20=17x+6$$

Вычтите 17x из обеих частей уравнения.

$$-2x^{2}+20x+20-17x=6$$

Объедините 20x и -17x, чтобы получить 3x.

$$-2x^{2}+3x+20=6$$

Вычтите 6 из обеих частей уравнения.

$$-2x^{2}+3x+20-6=0$$

Вычтите 6 из 20, чтобы получить 14.

$$-2x^{2}+3x+14=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -2x^{2}+ax+bx+14. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=3 ab=-2\times 14=-28$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 3.

$$a=7 b=-4$$

Перепишите -2x^{2}+3x+14 как \left(-2x^{2}+7x\right)+\left(-4x+14\right).

$$\left(-2x^{2}+7x\right)+\left(-4x+14\right)$$

Разложите -x в первом и -2 в второй группе.

$$-x\left(2x-7\right)-2\left(2x-7\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-7, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-7\right)\left(-x-2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-7=0 и -x-2=0у.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+2\right)^{2}.

$$5\left(x^{2}+4x+4\right)=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Чтобы умножить 5 на x^{2}+4x+4, используйте свойство дистрибутивности.

$$5x^{2}+20x+20=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Чтобы умножить 7x+3 на x+2, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$5x^{2}+20x+20=7x^{2}+17x+6$$

Вычтите 7x^{2} из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}+20x+20-7x^{2}=17x+6$$

Объедините 5x^{2} и -7x^{2}, чтобы получить -2x^{2}.

$$-2x^{2}+20x+20=17x+6$$

Вычтите 17x из обеих частей уравнения.

$$-2x^{2}+20x+20-17x=6$$

Объедините 20x и -17x, чтобы получить 3x.

$$-2x^{2}+3x+20=6$$

Вычтите 6 из обеих частей уравнения.

$$-2x^{2}+3x+20-6=0$$

Вычтите 6 из 20, чтобы получить 14.

$$-2x^{2}+3x+14=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -2 вместо a, 3 вместо b и 14 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-2\right)\times 14}}{2\left(-2\right)}$$

Возведите 3 в квадрат.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-2\right)\times 14}}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте -4 на -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+8\times 14}}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте 8 на 14.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\left(-2\right)}$$

Прибавьте 9 к 112.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\left(-2\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 121.

$$x=\frac{-3±11}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте 2 на -2.

$$x=\frac{-3±11}{-4}$$

Решите уравнение x=\frac{-3±11}{-4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -3 к 11.

$$x=\frac{8}{-4}$$

Разделите 8 на -4.

$$x=-2$$

Решите уравнение x=\frac{-3±11}{-4} при условии, что ± — минус. Вычтите 11 из -3.

$$x=-\frac{14}{-4}$$

Привести дробь \frac{-14}{-4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=-2 x=\frac{7}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+2\right)^{2}.

$$5\left(x^{2}+4x+4\right)=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Чтобы умножить 5 на x^{2}+4x+4, используйте свойство дистрибутивности.

$$5x^{2}+20x+20=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Чтобы умножить 7x+3 на x+2, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$5x^{2}+20x+20=7x^{2}+17x+6$$

Вычтите 7x^{2} из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}+20x+20-7x^{2}=17x+6$$

Объедините 5x^{2} и -7x^{2}, чтобы получить -2x^{2}.

$$-2x^{2}+20x+20=17x+6$$

Вычтите 17x из обеих частей уравнения.

$$-2x^{2}+20x+20-17x=6$$

Объедините 20x и -17x, чтобы получить 3x.

$$-2x^{2}+3x+20=6$$

Вычтите 20 из обеих частей уравнения.

$$-2x^{2}+3x=6-20$$

Вычтите 20 из 6, чтобы получить -14.

$$-2x^{2}+3x=-14$$

Разделите обе части на -2.

$$\frac{-2x^{2}+3x}{-2}=-\frac{14}{-2}$$

Деление на -2 аннулирует операцию умножения на -2.

$$x^{2}+\frac{3}{-2}x=-\frac{14}{-2}$$

Разделите 3 на -2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{14}{-2}$$

Разделите -14 на -2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=7$$

Деление -\frac{3}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{3}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

Прибавьте 7 к \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Упростите.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

Прибавьте \frac{3}{4} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$