Решить 5x^2-6x-1=0

$$5 { x }^{ 2 } -6x-1 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{14} + 3}{5} \approx 1,348331477$$

$$x=\frac{3-\sqrt{14}}{5}\approx -0,148331477$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}-6x-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -6 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Возведите -6 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-20\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -1.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+20}}{2\times 5}$$

Прибавьте 36 к 20.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{56}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 56.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{14}}{2\times 5}$$

Число, противоположное -6, равно 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{14}}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{6±2\sqrt{14}}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{6±2\sqrt{14}}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 6 к 2\sqrt{14}.

$$x=\frac{2\sqrt{14}+6}{10}$$

Разделите 6+2\sqrt{14} на 10.

$$x=\frac{\sqrt{14}+3}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{6±2\sqrt{14}}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{14} из 6.

$$x=\frac{6-2\sqrt{14}}{10}$$

Разделите 6-2\sqrt{14} на 10.

$$x=\frac{3-\sqrt{14}}{5}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{14}+3}{5} x=\frac{3-\sqrt{14}}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-6x-1=0$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$5x^{2}-6x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Если из -1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}-6x=-\left(-1\right)$$

Вычтите -1 из 0.

$$5x^{2}-6x=1$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}-6x}{5}=\frac{1}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x=\frac{1}{5}$$

Деление -\frac{6}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{3}{5}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{5} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{1}{5}+\frac{9}{25}$$

Прибавьте \frac{1}{5} к \frac{9}{25}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{14}{25}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{14}{25}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{14}{25}}$$

Упростите.

$$x-\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{14}}{5} x-\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{14}}{5}$$

Прибавьте \frac{3}{5} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{14}+3}{5} x=\frac{3-\sqrt{14}}{5}$$