Решить 49n^2-56n+16

$$49 n ^ { 2 } - 56 n + 16$$

Разложить на множители

$$\left(7n-4\right)^{2}$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 49n^{2}+an+bn+16. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-56 ab=49\times 16=784$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 784.

$$-1,-784 -2,-392 -4,-196 -7,-112 -8,-98 -14,-56 -16,-49 -28,-28$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-784=-785 -2-392=-394 -4-196=-200 -7-112=-119 -8-98=-106 -14-56=-70 -16-49=-65 -28-28=-56$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -56.

$$a=-28 b=-28$$

Перепишите 49n^{2}-56n+16 как \left(49n^{2}-28n\right)+\left(-28n+16\right).

$$\left(49n^{2}-28n\right)+\left(-28n+16\right)$$

Разложите 7n в первом и -4 в второй группе.

$$7n\left(7n-4\right)-4\left(7n-4\right)$$

Вынесите за скобки общий член 7n-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(7n-4\right)\left(7n-4\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(7n-4\right)^{2}$$

Способ выделения квадрата двучлена

Этот трехчлен имеет вид квадратного трехчлена, возможно, умноженного на общий множитель. Квадратные трехчлены можно разложить, найдя квадратные корни первого и последнего членов.

$$factor(49n^{2}-56n+16)$$

Найдите наибольший общий делитель коэффициентов.

$$gcf(49,-56,16)=1$$

Найдите квадратный корень первого члена 49n^{2}.

$$\sqrt{49n^{2}}=7n$$

Найдите квадратный корень последнего члена 16.

$$\sqrt{16}=4$$

Квадратный трехчлен равен квадрату двучлена, представляющего собой сумму или разность квадратных корней первого и последнего членов. При этом знак определяется знаком среднего члена квадратного трехчлена.

$$\left(7n-4\right)^{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$49n^{2}-56n+16=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$n=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{\left(-56\right)^{2}-4\times 49\times 16}}{2\times 49}$$

Возведите -56 в квадрат.

$$n=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-4\times 49\times 16}}{2\times 49}$$

Умножьте -4 на 49.

$$n=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-196\times 16}}{2\times 49}$$

Умножьте -196 на 16.

$$n=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-3136}}{2\times 49}$$

Прибавьте 3136 к -3136.

$$n=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$n=\frac{-\left(-56\right)±0}{2\times 49}$$

Число, противоположное -56, равно 56.

$$n=\frac{56±0}{2\times 49}$$

Умножьте 2 на 49.

$$n=\frac{56±0}{98}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{4}{7} вместо x_{1} и \frac{4}{7} вместо x_{2}.

$$49n^{2}-56n+16=49\left(n-\frac{4}{7}\right)\left(n-\frac{4}{7}\right)$$

Вычтите \frac{4}{7} из n. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$49n^{2}-56n+16=49\times \frac{7n-4}{7}\left(n-\frac{4}{7}\right)$$

Вычтите \frac{4}{7} из n. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$49n^{2}-56n+16=49\times \frac{7n-4}{7}\times \frac{7n-4}{7}$$

Умножьте \frac{7n-4}{7} на \frac{7n-4}{7}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$49n^{2}-56n+16=49\times \frac{\left(7n-4\right)\left(7n-4\right)}{7\times 7}$$

Умножьте 7 на 7.

$$49n^{2}-56n+16=49\times \frac{\left(7n-4\right)\left(7n-4\right)}{49}$$

Сократите наибольший общий делитель 49 в 49 и 49.

$$49n^{2}-56n+16=\left(7n-4\right)\left(7n-4\right)$$

Вычислить

$$\left(7n-4\right)^{2}$$