Решить 49n^2+168n+144

$$49 n ^ { 2 } + 168 n + 144$$

Разложить на множители

$$\left(7n+12\right)^{2}$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 49n^{2}+an+bn+144. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=168 ab=49\times 144=7056$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 7056.

$$1,7056 2,3528 3,2352 4,1764 6,1176 7,1008 8,882 9,784 12,588 14,504 16,441 18,392 21,336 24,294 28,252 36,196 42,168 48,147 49,144 56,126 63,112 72,98 84,84$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+7056=7057 2+3528=3530 3+2352=2355 4+1764=1768 6+1176=1182 7+1008=1015 8+882=890 9+784=793 12+588=600 14+504=518 16+441=457 18+392=410 21+336=357 24+294=318 28+252=280 36+196=232 42+168=210 48+147=195 49+144=193 56+126=182 63+112=175 72+98=170 84+84=168$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 168.

$$a=84 b=84$$

Перепишите 49n^{2}+168n+144 как \left(49n^{2}+84n\right)+\left(84n+144\right).

$$\left(49n^{2}+84n\right)+\left(84n+144\right)$$

Разложите 7n в первом и 12 в второй группе.

$$7n\left(7n+12\right)+12\left(7n+12\right)$$

Вынесите за скобки общий член 7n+12, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(7n+12\right)^{2}$$

Способ выделения квадрата двучлена

Этот трехчлен имеет вид квадратного трехчлена, возможно, умноженного на общий множитель. Квадратные трехчлены можно разложить, найдя квадратные корни первого и последнего членов.

$$factor(49n^{2}+168n+144)$$

Найдите наибольший общий делитель коэффициентов.

$$gcf(49,168,144)=1$$

Найдите квадратный корень первого члена 49n^{2}.

$$\sqrt{49n^{2}}=7n$$

Найдите квадратный корень последнего члена 144.

$$\sqrt{144}=12$$

Квадратный трехчлен равен квадрату двучлена, представляющего собой сумму или разность квадратных корней первого и последнего членов. При этом знак определяется знаком среднего члена квадратного трехчлена.

$$\left(7n+12\right)^{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$49n^{2}+168n+144=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$n=\frac{-168±\sqrt{168^{2}-4\times 49\times 144}}{2\times 49}$$

Возведите 168 в квадрат.

$$n=\frac{-168±\sqrt{28224-4\times 49\times 144}}{2\times 49}$$

Умножьте -4 на 49.

$$n=\frac{-168±\sqrt{28224-196\times 144}}{2\times 49}$$

Умножьте -196 на 144.

$$n=\frac{-168±\sqrt{28224-28224}}{2\times 49}$$

Прибавьте 28224 к -28224.

$$n=\frac{-168±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$n=\frac{-168±0}{2\times 49}$$

Умножьте 2 на 49.

$$n=\frac{-168±0}{98}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте -\frac{12}{7} вместо x_{1} и -\frac{12}{7} вместо x_{2}.

$$49n^{2}+168n+144=49\left(n-\left(-\frac{12}{7}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{12}{7}\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$49n^{2}+168n+144=49\left(n+\frac{12}{7}\right)\left(n+\frac{12}{7}\right)$$

Прибавьте \frac{12}{7} к n, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{7n+12}{7}\left(n+\frac{12}{7}\right)$$

Прибавьте \frac{12}{7} к n, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{7n+12}{7}\times \frac{7n+12}{7}$$

Умножьте \frac{7n+12}{7} на \frac{7n+12}{7}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)}{7\times 7}$$

Умножьте 7 на 7.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)}{49}$$

Сократите наибольший общий делитель 49 в 49 и 49.

$$49n^{2}+168n+144=\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)$$

Вычислить

$$\left(7n+12\right)^{2}$$