Решить 49x^2+2x-15=0

$$49 { x }^{ 2 } +2x-15=0$$

Найдите x

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49}\approx 0,533251427$$

$$x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}\approx -0,574067754$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$49x^{2}+2x-15=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 49 вместо a, 2 вместо b и -15 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 49\left(-15\right)}}{2\times 49}$$

Возведите 2 в квадрат.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 49\left(-15\right)}}{2\times 49}$$

Умножьте -4 на 49.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-196\left(-15\right)}}{2\times 49}$$

Умножьте -196 на -15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+2940}}{2\times 49}$$

Прибавьте 4 к 2940.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2944}}{2\times 49}$$

Извлеките квадратный корень из 2944.

$$x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{2\times 49}$$

Умножьте 2 на 49.

$$x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{98}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{98} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -2 к 8\sqrt{46}.

$$x=\frac{8\sqrt{46}-2}{98}$$

Разделите -2+8\sqrt{46} на 98.

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{98} при условии, что ± — минус. Вычтите 8\sqrt{46} из -2.

$$x=\frac{-8\sqrt{46}-2}{98}$$

Разделите -2-8\sqrt{46} на 98.

$$x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49} x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$49x^{2}+2x-15=0$$

Прибавьте 15 к обеим частям уравнения.

$$49x^{2}+2x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Если из -15 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$49x^{2}+2x=-\left(-15\right)$$

Вычтите -15 из 0.

$$49x^{2}+2x=15$$

Разделите обе части на 49.

$$\frac{49x^{2}+2x}{49}=\frac{15}{49}$$

Деление на 49 аннулирует операцию умножения на 49.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x=\frac{15}{49}$$

Деление \frac{2}{49}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{49}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{49} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x+\left(\frac{1}{49}\right)^{2}=\frac{15}{49}+\left(\frac{1}{49}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{49} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x+\frac{1}{2401}=\frac{15}{49}+\frac{1}{2401}$$

Прибавьте \frac{15}{49} к \frac{1}{2401}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x+\frac{1}{2401}=\frac{736}{2401}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{2}{49}x+\frac{1}{2401}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{49}\right)^{2}=\frac{736}{2401}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{49}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{736}{2401}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{49}=\frac{4\sqrt{46}}{49} x+\frac{1}{49}=-\frac{4\sqrt{46}}{49}$$

Вычтите \frac{1}{49} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49} x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}$$