Решить 4x^2+6x+10=0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4}\approx -0,75+1,391941091i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}\approx -0,75-1,391941091i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}+6x+10=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 6 вместо b и 10 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Возведите 6 в квадрат.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16\times 10}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-160}}{2\times 4}$$

Прибавьте 36 к -160.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-124}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из -124.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -6 к 2i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{31}i}{8}$$

Разделите -6+2i\sqrt{31} на 8.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 2i\sqrt{31} из -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}i-6}{8}$$

Разделите -6-2i\sqrt{31} на 8.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+6x+10=0$$

Вычтите 10 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+6x+10-10=-10$$

Если из 10 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}+6x=-10$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=-\frac{10}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=-\frac{10}{4}$$

Привести дробь \frac{6}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{10}{4}$$

Привести дробь \frac{-10}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Деление \frac{3}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{3}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

Прибавьте -\frac{5}{2} к \frac{9}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{31}{16}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{31}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{31}i}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{31}i}{4}$$

Вычтите \frac{3}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$