Решить 4x^2+3x-10=0

$$4 x ^ { 2 } + 3 x - 10 = 0$$

Найдите x

$$x=-2$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4x^{2}+ax+bx-10. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=3 ab=4\left(-10\right)=-40$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -40.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 3.

$$a=-5 b=8$$

Перепишите 4x^{2}+3x-10 как \left(4x^{2}-5x\right)+\left(8x-10\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(8x-10\right)$$

Разложите x в первом и 2 в второй группе.

$$x\left(4x-5\right)+2\left(4x-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член 4x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(4x-5\right)\left(x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 4x-5=0 и x+2=0у.

$$x=\frac{5}{4} x=-2$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}+3x-10=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 3 вместо b и -10 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Возведите 3 в квадрат.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-16\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -10.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+160}}{2\times 4}$$

Прибавьте 9 к 160.

$$x=\frac{-3±\sqrt{169}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 169.

$$x=\frac{-3±13}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{-3±13}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-3±13}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -3 к 13.

$$x=\frac{10}{8}$$

Привести дробь \frac{10}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-3±13}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 13 из -3.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Разделите -16 на 8.

$$x=-2$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{5}{4} x=-2$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+3x-10=0$$

Прибавьте 10 к обеим частям уравнения.

$$4x^{2}+3x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Если из -10 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}+3x=-\left(-10\right)$$

Вычтите -10 из 0.

$$4x^{2}+3x=10$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}+3x}{4}=\frac{10}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=\frac{10}{4}$$

Привести дробь \frac{10}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=\frac{5}{2}$$

Деление \frac{3}{4}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{3}{8}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{8} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{5}{2}+\frac{9}{64}$$

Прибавьте \frac{5}{2} к \frac{9}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{169}{64}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Упростите.

$$x+\frac{3}{8}=\frac{13}{8} x+\frac{3}{8}=-\frac{13}{8}$$

Вычтите \frac{3}{8} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{5}{4} x=-2$$