Решить 4x^2+28x+53=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 53 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=-\frac{7}{2}+i=-3,5+i$$

$$x=-\frac{7}{2}-i=-3,5-i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 28 вместо b и 53 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Возведите 28 в квадрат.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 53}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на 53.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-848}}{2\times 4}$$

Прибавьте 784 к -848.

$$x=\frac{-28±\sqrt{-64}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из -64.

$$x=\frac{-28±8i}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{-28±8i}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-28±8i}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -28 к 8i.

$$x=\frac{-28+8i}{8}$$

Разделите -28+8i на 8.

$$x=-\frac{7}{2}+i$$

Решите уравнение x=\frac{-28±8i}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 8i из -28.

$$x=\frac{-28-8i}{8}$$

Разделите -28-8i на 8.

$$x=-\frac{7}{2}-i$$

Уравнение решено.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Вычтите 53 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+28x+53-53=-53$$

Если из 53 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}+28x=-53$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{53}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{53}{4}$$

Разделите 28 на 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{53}{4}$$

Деление 7, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{7}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{7}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{53}{4}+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{7}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{-53+49}{4}$$

Прибавьте -\frac{53}{4} к \frac{49}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-1$$

Коэффициент x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=-1$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Упростите.

$$x+\frac{7}{2}=i x+\frac{7}{2}=-i$$

Вычтите \frac{7}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$