Решить 4x^2+24x+32=0

$$4 x ^ { 2 } + 24 x + 32 = 0$$

Найдите x

$$x=-4$$

$$x=-2$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 4.

$$x^{2}+6x+8=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+8. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=6 ab=1\times 8=8$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 8.

$$1,8 2,4$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+8=9 2+4=6$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 6.

$$a=2 b=4$$

Перепишите x^{2}+6x+8 как \left(x^{2}+2x\right)+\left(4x+8\right).

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(4x+8\right)$$

Разложите x в первом и 4 в второй группе.

$$x\left(x+2\right)+4\left(x+2\right)$$

Вынесите за скобки общий член x+2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x+2\right)\left(x+4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x+2=0 и x+4=0у.

$$x=-2 x=-4$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}+24x+32=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 24 вместо b и 32 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 4\times 32}}{2\times 4}$$

Возведите 24 в квадрат.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 4\times 32}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-16\times 32}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на 32.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-512}}{2\times 4}$$

Прибавьте 576 к -512.

$$x=\frac{-24±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 64.

$$x=\frac{-24±8}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{-24±8}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-24±8}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -24 к 8.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Разделите -16 на 8.

$$x=-2$$

Решите уравнение x=\frac{-24±8}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 8 из -24.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Разделите -32 на 8.

$$x=-4$$

Уравнение решено.

$$x=-2 x=-4$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+24x+32=0$$

Вычтите 32 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+24x+32-32=-32$$

Если из 32 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}+24x=-32$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}+24x}{4}=-\frac{32}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\frac{24}{4}x=-\frac{32}{4}$$

Разделите 24 на 4.

$$x^{2}+6x=-\frac{32}{4}$$

Разделите -32 на 4.

$$x^{2}+6x=-8$$

Деление 6, коэффициент x термина, 2 для получения 3. Затем добавьте квадрат 3 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-8+3^{2}$$

Возведите 3 в квадрат.

$$x^{2}+6x+9=-8+9$$

Прибавьте -8 к 9.

$$x^{2}+6x+9=1$$

Коэффициент x^{2}+6x+9. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=1$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Упростите.

$$x+3=1 x+3=-1$$

Вычтите 3 из обеих частей уравнения.

$$x=-2 x=-4$$