Решить 4x^2+12x+19=0

$$4 x ^ { 2 } + 12 x + 19 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2}\approx -1,5+1,58113883i$$

$$x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}\approx -1,5-1,58113883i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}+12x+19=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 12 вместо b и 19 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\times 19}}{2\times 4}$$

Возведите 12 в квадрат.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\times 19}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-16\times 19}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на 19.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-304}}{2\times 4}$$

Прибавьте 144 к -304.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-160}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из -160.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -12 к 4i\sqrt{10}.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{10}i}{8}$$

Разделите -12+4i\sqrt{10} на 8.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 4i\sqrt{10} из -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{10}i-12}{8}$$

Разделите -12-4i\sqrt{10} на 8.

$$x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2} x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+12x+19=0$$

Вычтите 19 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+12x+19-19=-19$$

Если из 19 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}+12x=-19$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}+12x}{4}=-\frac{19}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\frac{12}{4}x=-\frac{19}{4}$$

Разделите 12 на 4.

$$x^{2}+3x=-\frac{19}{4}$$

Деление 3, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-19+9}{4}$$

Прибавьте -\frac{19}{4} к \frac{9}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{5}{2}$$

Коэффициент x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{2}}$$

Упростите.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{10}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{10}i}{2}$$

Вычтите \frac{3}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2} x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$