Решить 4x^2-4x+7=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x+7=0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{1+\sqrt{6}i}{2}\approx 0,5+1,224744871i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+1}{2}\approx 0,5-1,224744871i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}-4x+7=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -4 вместо b и 7 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Возведите -4 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\times 7}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на 7.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-112}}{2\times 4}$$

Прибавьте 16 к -112.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-96}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из -96.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{6}i}{2\times 4}$$

Число, противоположное -4, равно 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{6}i}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{6}i}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{4±4\sqrt{6}i}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 4 к 4i\sqrt{6}.

$$x=\frac{4+4\sqrt{6}i}{8}$$

Разделите 4+4i\sqrt{6} на 8.

$$x=\frac{1+\sqrt{6}i}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{4±4\sqrt{6}i}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 4i\sqrt{6} из 4.

$$x=\frac{-4\sqrt{6}i+4}{8}$$

Разделите 4-4i\sqrt{6} на 8.

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+1}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1+\sqrt{6}i}{2} x=\frac{-\sqrt{6}i+1}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x+7=0$$

Вычтите 7 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-4x+7-7=-7$$

Если из 7 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-4x=-7$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{7}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{7}{4}$$

Разделите -4 на 4.

$$x^{2}-x=-\frac{7}{4}$$

Деление -1, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-7+1}{4}$$

Прибавьте -\frac{7}{4} к \frac{1}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{2}$$

Коэффициент x^{2}-x+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{2}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{2}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}i}{2}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{1+\sqrt{6}i}{2} x=\frac{-\sqrt{6}i+1}{2}$$