Решить 3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

Разложить на множители

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Действия по решению

Умножьте и объедините подобные члены.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

Чтобы разложить выражение на множители, решите уравнение, в левой части которого стоит это выражение, а в правой — 0.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -16, а q делит старший коэффициент 3. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=-4$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 на x+4, чтобы получить 3x^{3}+12x^{2}-x-4. Чтобы разложить результат на множители, решите уравнение, в левой части которого стоит этот результат, а в правой — 0.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -4, а q делит старший коэффициент 3. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=-4$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите 3x^{3}+12x^{2}-x-4 на x+4, чтобы получить 3x^{2}-1. Чтобы разложить результат на множители, решите уравнение, в левой части которого стоит этот результат, а в правой — 0.

$$3x^{2}-1=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 3, b на 0 и c на -1.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

Решение 3x^{2}-1=0 уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Перепишите разложенное на множители выражение, используя полученные корни. Многочлен 3x^{2}-1 не разлагается на множители, так как у него нет рациональных корней.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Вычислить

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Действия по решению

Объедините 48x^{2} и -x^{2}, чтобы получить 47x^{2}.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$