Решить 3x^3+31x^2+82x+24

$$3 x ^ { 3 } + 31 x ^ { 2 } + 82 x + 24$$

Разложить на множители

$$\left(x+4\right)\left(x+6\right)\left(3x+1\right)$$

Действия по решению

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 24, а q делит старший коэффициент 3. Одним из таких корней является -4. Разложите многочлен на множители, разделив его на x+4.

$$\left(x+4\right)\left(3x^{2}+19x+6\right)$$

Учтите 3x^{2}+19x+6. Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 3x^{2}+ax+bx+6. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=19 ab=3\times 6=18$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 18.

$$1,18 2,9 3,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 19.

$$a=1 b=18$$

Перепишите 3x^{2}+19x+6 как \left(3x^{2}+x\right)+\left(18x+6\right).

$$\left(3x^{2}+x\right)+\left(18x+6\right)$$

Разложите x в первом и 6 в второй группе.

$$x\left(3x+1\right)+6\left(3x+1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3x+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x+1\right)\left(x+6\right)$$

Перепишите полное разложенное на множители выражение.

$$\left(3x+1\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)$$

Вычислить

$$\left(x+4\right)\left(x+6\right)\left(3x+1\right)$$