Решить 3x^2-7x+5=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 5 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6}\approx 1,166666667+0,552770798i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}\approx 1,166666667-0,552770798i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}-7x+5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -7 вместо b и 5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Возведите -7 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 5}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-60}}{2\times 3}$$

Прибавьте 49 к -60.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-11}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из -11.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Число, противоположное -7, равно 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 7 к i\sqrt{11}.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{11} из 7.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-7x+5=0$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}-7x+5-5=-5$$

Если из 5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}-7x=-5$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{5}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{5}{3}$$

Деление -\frac{7}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{7}{6}. Затем добавьте квадрат -\frac{7}{6} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{7}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{5}{3}+\frac{49}{36}$$

Прибавьте -\frac{5}{3} к \frac{49}{36}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{11}{36}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{11}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{36}}$$

Упростите.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{11}i}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{11}i}{6}$$

Прибавьте \frac{7}{6} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$