Решить 3x^2-40x+96=0

$$3 x ^ { 2 } - 40 x + 96 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{4 \sqrt{7} + 20}{3} \approx 10,194335081$$

$$x = \frac{20 - 4 \sqrt{7}}{3} \approx 3,138998252$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}-40x+96=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -40 вместо b и 96 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 3\times 96}}{2\times 3}$$

Возведите -40 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 3\times 96}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-12\times 96}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на 96.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1152}}{2\times 3}$$

Прибавьте 1600 к -1152.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{448}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 448.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±8\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Число, противоположное -40, равно 40.

$$x=\frac{40±8\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 40 к 8\sqrt{7}.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+40}{6}$$

Разделите 40+8\sqrt{7} на 6.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 8\sqrt{7} из 40.

$$x=\frac{40-8\sqrt{7}}{6}$$

Разделите 40-8\sqrt{7} на 6.

$$x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3} x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-40x+96=0$$

Вычтите 96 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}-40x+96-96=-96$$

Если из 96 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}-40x=-96$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}-40x}{3}=-\frac{96}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-\frac{96}{3}$$

Разделите -96 на 3.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-32$$

Деление -\frac{40}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{20}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{20}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}=-32+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{20}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=-32+\frac{400}{9}$$

Прибавьте -32 к \frac{400}{9}.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=\frac{112}{9}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{112}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{112}{9}}$$

Упростите.

$$x-\frac{20}{3}=\frac{4\sqrt{7}}{3} x-\frac{20}{3}=-\frac{4\sqrt{7}}{3}$$

Прибавьте \frac{20}{3} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3} x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$