Решить 3x^2-2x-16=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Найдите x

$$x=-2$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3x^{2}+ax+bx-16. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-2 ab=3\left(-16\right)=-48$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -2.

$$a=-8 b=6$$

Перепишите 3x^{2}-2x-16 как \left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right).

$$\left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right)$$

Разложите x в первом и 2 в второй группе.

$$x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3x-8, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x-8\right)\left(x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3x-8=0 и x+2=0у.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -2 вместо b и -16 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+192}}{2\times 3}$$

Прибавьте 4 к 192.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 196.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14}{2\times 3}$$

Число, противоположное -2, равно 2.

$$x=\frac{2±14}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{2±14}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{2±14}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 2 к 14.

$$x=\frac{16}{6}$$

Привести дробь \frac{16}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{8}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{2±14}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 14 из 2.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Разделите -12 на 6.

$$x=-2$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Прибавьте 16 к обеим частям уравнения.

$$3x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Если из -16 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Вычтите -16 из 0.

$$3x^{2}-2x=16$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{16}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{16}{3}$$

Деление -\frac{2}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{3}+\frac{1}{9}$$

Прибавьте \frac{16}{3} к \frac{1}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{49}{9}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$$

Прибавьте \frac{1}{3} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$