Решить 3x^2-11x-4<0

$$3 x ^ { 2 } - 11 x - 4 < 0$$

Решение для x

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы решить неравенство, разложите левую часть на множители. Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-11x-4=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 3, b на -11 и c на -4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{11±13}{6}$$

Решение x=\frac{11±13}{6} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=4 x=-\frac{1}{3}$$

Перепишите неравенство, используя полученные решения.

$$3\left(x-4\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)<0$$

Чтобы произведение было отрицательным, x-4 и x+\frac{1}{3} должны иметь противоположные знаки. Рассмотрите, когда x-4 положительное и x+\frac{1}{3} отрицательно.

$$x-4>0 x+\frac{1}{3}<0$$

Это неверно для любого x.

$$x\in \emptyset$$

Рассмотрите, когда x+\frac{1}{3} положительное и x-4 отрицательно.

$$x+\frac{1}{3}>0 x-4<0$$

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: x\in \left(-\frac{1}{3},4\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$

Окончательное решение — это объединение полученных решений.

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$