Решить 3x^2+5x+1/2=4

$$3 x ^ { 2 } + 5 x + \frac { 1 } { 2 } = 4$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{67}-5}{6}\approx 0,530892129$$

$$x=\frac{-\sqrt{67}-5}{6}\approx -2,197558795$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}+5x+\frac{1}{2}=4$$

Вычтите 4 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}+5x+\frac{1}{2}-4=4-4$$

Если из 4 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}+5x+\frac{1}{2}-4=0$$

Вычтите 4 из \frac{1}{2}.

$$3x^{2}+5x-\frac{7}{2}=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 5 вместо b и -\frac{7}{2} вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-\frac{7}{2}\right)}}{2\times 3}$$

Возведите 5 в квадрат.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-\frac{7}{2}\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-\frac{7}{2}\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -\frac{7}{2}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+42}}{2\times 3}$$

Прибавьте 25 к 42.

$$x=\frac{-5±\sqrt{67}}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{67}}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±\sqrt{67}}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -5 к \sqrt{67}.

$$x=\frac{\sqrt{67}-5}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±\sqrt{67}}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{67} из -5.

$$x=\frac{-\sqrt{67}-5}{6}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{67}-5}{6} x=\frac{-\sqrt{67}-5}{6}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x+\frac{1}{2}=4$$

Вычтите \frac{1}{2} из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}+5x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=4-\frac{1}{2}$$

Если из \frac{1}{2} вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}+5x=4-\frac{1}{2}$$

Вычтите \frac{1}{2} из 4.

$$3x^{2}+5x=\frac{7}{2}$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{\frac{7}{2}}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{\frac{7}{2}}{3}$$

Разделите \frac{7}{2} на 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{7}{6}$$

Деление \frac{5}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{5}{6}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{6} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{7}{6}+\frac{25}{36}$$

Прибавьте \frac{7}{6} к \frac{25}{36}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{67}{36}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{67}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{67}{36}}$$

Упростите.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{67}}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{67}}{6}$$

Вычтите \frac{5}{6} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{67}-5}{6} x=\frac{-\sqrt{67}-5}{6}$$