Решить 3x^2+4x+1=0

$$3 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-1$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3x^{2}+ax+bx+1. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=4 ab=3\times 1=3$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=1 b=3$$

Перепишите 3x^{2}+4x+1 как \left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right).

$$\left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right)$$

Вынесите за скобки x в 3x^{2}+x.

$$x\left(3x+1\right)+3x+1$$

Вынесите за скобки общий член 3x+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x+1\right)\left(x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3x+1=0 и x+1=0у.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 4 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Возведите 4 в квадрат.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

Прибавьте 16 к -12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 4.

$$x=\frac{-4±2}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{-4±2}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-4±2}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -4 к 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Привести дробь \frac{-2}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-4±2}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 2 из -4.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Разделите -6 на 6.

$$x=-1$$

Уравнение решено.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}+4x+1-1=-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}+4x=-1$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Деление \frac{4}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{2}{3}. Затем добавьте квадрат \frac{2}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Возведите \frac{2}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Прибавьте -\frac{1}{3} к \frac{4}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Упростите.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Вычтите \frac{2}{3} из обеих частей уравнения.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$