Решить 3x^2+16x-12=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 12 = 0$$

Найдите x

$$x=-6$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3x^{2}+ax+bx-12. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=16 ab=3\left(-12\right)=-36$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 16.

$$a=-2 b=18$$

Перепишите 3x^{2}+16x-12 как \left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right).

$$\left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right)$$

Разложите x в первом и 6 в второй группе.

$$x\left(3x-2\right)+6\left(3x-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3x-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x-2\right)\left(x+6\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3x-2=0 и x+6=0у.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 16 вместо b и -12 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Возведите 16 в квадрат.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -12.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 3}$$

Прибавьте 256 к 144.

$$x=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 400.

$$x=\frac{-16±20}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{-16±20}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-16±20}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -16 к 20.

$$x=\frac{4}{6}$$

Привести дробь \frac{4}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-16±20}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 20 из -16.

$$x=-\frac{36}{6}$$

Разделите -36 на 6.

$$x=-6$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

Прибавьте 12 к обеим частям уравнения.

$$3x^{2}+16x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Если из -12 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-12\right)$$

Вычтите -12 из 0.

$$3x^{2}+16x=12$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{12}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{12}{3}$$

Разделите 12 на 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=4$$

Деление \frac{16}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{8}{3}. Затем добавьте квадрат \frac{8}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=4+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Возведите \frac{8}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=4+\frac{64}{9}$$

Прибавьте 4 к \frac{64}{9}.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{100}{9}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Упростите.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{10}{3}$$

Вычтите \frac{8}{3} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$