Решить 3x+5y=8text{and}x-2y=-1

$$3 x + 5 y = 8 \text { and } x - 2 y = - 1$$

Найдите x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Выберите одно из уравнений и решите его для x путем изоляция x в левой части уравнения.

$$3x+5y=8$$

Вычтите 5y из обеих частей уравнения.

$$3x=-5y+8$$

Разделите обе части на 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+8\right)$$

Умножьте \frac{1}{3} на -5y+8.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}$$

Подставьте \frac{-5y+8}{3} вместо x в другом уравнении x-2y=-1.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}-2y=-1$$

Прибавьте -\frac{5y}{3} к -2y.

$$-\frac{11}{3}y+\frac{8}{3}=-1$$

Вычтите \frac{8}{3} из обеих частей уравнения.

$$-\frac{11}{3}y=-\frac{11}{3}$$

Разделите обе стороны уравнения на -\frac{11}{3}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$y=1$$

Подставьте 1 вместо y в x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=\frac{-5+8}{3}$$

Прибавьте \frac{8}{3} к -\frac{5}{3}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=1$$

Система решена.

$$x=1,y=1$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-5}&-\frac{5}{3\left(-2\right)-5}\\-\frac{1}{3\left(-2\right)-5}&\frac{3}{3\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{5}{11}\left(-1\right)\\\frac{1}{11}\times 8-\frac{3}{11}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=1,y=1$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Чтобы сделать 3x и x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 1 и все члены в обеих частях второго уравнения на 3.

$$3x+5y=8,3x+3\left(-2\right)y=3\left(-1\right)$$

Упростите.

$$3x+5y=8,3x-6y=-3$$

Вычтите 3x-6y=-3 из 3x+5y=8 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$3x-3x+5y+6y=8+3$$

Прибавьте 3x к -3x. Члены 3x и -3x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$5y+6y=8+3$$

Прибавьте 5y к 6y.

$$11y=8+3$$

Прибавьте 8 к 3.

$$11y=11$$

Разделите обе части на 11.

$$y=1$$

Подставьте 1 вместо y в x-2y=-1. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x-2=-1$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$x=1$$

Система решена.

$$x=1,y=1$$