Решить 3r^2-24r=-45

$$3 r ^ { 2 } - 24 r = - 45$$

Найдите r

$$r=3$$

$$r=5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Прибавьте 45 к обеим частям.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Разделите обе части на 3.

$$r^{2}-8r+15=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: r^{2}+ar+br+15. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -8.

$$a=-5 b=-3$$

Перепишите r^{2}-8r+15 как \left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right).

$$\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)$$

Разложите r в первом и -3 в второй группе.

$$r\left(r-5\right)-3\left(r-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член r-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(r-5\right)\left(r-3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите r-5=0 и r-3=0у.

$$r=5 r=3$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Прибавьте 45 к обеим частям уравнения.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=-45-\left(-45\right)$$

Если из -45 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=0$$

Вычтите -45 из 0.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -24 вместо b и 45 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Возведите -24 в квадрат.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на 45.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

Прибавьте 576 к -540.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 36.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

Число, противоположное -24, равно 24.

$$r=\frac{24±6}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$r=\frac{24±6}{6}$$

Решите уравнение r=\frac{24±6}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 24 к 6.

$$r=\frac{30}{6}$$

Разделите 30 на 6.

$$r=5$$

Решите уравнение r=\frac{24±6}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 6 из 24.

$$r=\frac{18}{6}$$

Разделите 18 на 6.

$$r=3$$

Уравнение решено.

$$r=5 r=3$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3r^{2}-24r}{3}=-\frac{45}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$r^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)r=-\frac{45}{3}$$

Разделите -24 на 3.

$$r^{2}-8r=-\frac{45}{3}$$

Разделите -45 на 3.

$$r^{2}-8r=-15$$

Деление -8, коэффициент x термина, 2 для получения -4. Затем добавьте квадрат -4 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$r^{2}-8r+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Возведите -4 в квадрат.

$$r^{2}-8r+16=-15+16$$

Прибавьте -15 к 16.

$$r^{2}-8r+16=1$$

Коэффициент r^{2}-8r+16. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-4\right)^{2}=1$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(r-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Упростите.

$$r-4=1 r-4=-1$$

Прибавьте 4 к обеим частям уравнения.

$$r=5 r=3$$