Решить 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

Найдите n

$$n=-20$$

$$n=19$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 1141 из обеих частей уравнения.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Вычтите 1141 из 1, чтобы получить -1140.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Разделите обе части на 3.

$$n^{2}+n-380=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: n^{2}+an+bn-380. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -380.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 1.

$$a=-19 b=20$$

Перепишите n^{2}+n-380 как \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right).

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

Разложите n в первом и 20 в второй группе.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

Вынесите за скобки общий член n-19, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите n-19=0 и n+20=0у.

$$n=19 n=-20$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Вычтите 1141 из обеих частей уравнения.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

Если из 1141 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Вычтите 1141 из 1.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 3 вместо b и -1140 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Возведите 3 в квадрат.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -1140.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

Прибавьте 9 к 13680.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 13689.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

Решите уравнение n=\frac{-3±117}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -3 к 117.

$$n=\frac{114}{6}$$

Разделите 114 на 6.

$$n=19$$

Решите уравнение n=\frac{-3±117}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 117 из -3.

$$n=-\frac{120}{6}$$

Разделите -120 на 6.

$$n=-20$$

Уравнение решено.

$$n=19 n=-20$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

Вычтите 1 из 1141.

$$3n^{2}+3n=1140$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

Разделите 3 на 3.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

Разделите 1140 на 3.

$$n^{2}+n=380$$

Деление 1, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

Прибавьте 380 к \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

Коэффициент n^{2}+n+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

Упростите.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

Вычтите \frac{1}{2} из обеих частей уравнения.

$$n=19 n=-20$$