Решить 3x^2-2x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -2x-9 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{2 \sqrt{7} + 1}{3} \approx 2,097167541$$

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\approx -1,430500874$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -2 вместо b и -9 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+108}}{2\times 3}$$

Прибавьте 4 к 108.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{112}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 112.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Число, противоположное -2, равно 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 2 к 4\sqrt{7}.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+2}{6}$$

Разделите 2+4\sqrt{7} на 6.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 4\sqrt{7} из 2.

$$x=\frac{2-4\sqrt{7}}{6}$$

Разделите 2-4\sqrt{7} на 6.

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Прибавьте 9 к обеим частям уравнения.

$$3x^{2}-2x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Если из -9 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-9\right)$$

Вычтите -9 из 0.

$$3x^{2}-2x=9$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{9}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{9}{3}$$

Разделите 9 на 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=3$$

Деление -\frac{2}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=3+\frac{1}{9}$$

Прибавьте 3 к \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{28}{9}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

Прибавьте \frac{1}{3} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$