Решить 3x^2+5x-32=0

$$3 { x }^{ 2 } +5x-32 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{409} - 5}{6} \approx 2,537291403$$

$$x=\frac{-\sqrt{409}-5}{6}\approx -4,203958069$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}+5x-32=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 5 вместо b и -32 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Возведите 5 в квадрат.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -32.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+384}}{2\times 3}$$

Прибавьте 25 к 384.

$$x=\frac{-5±\sqrt{409}}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{409}}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±\sqrt{409}}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -5 к \sqrt{409}.

$$x=\frac{\sqrt{409}-5}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±\sqrt{409}}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{409} из -5.

$$x=\frac{-\sqrt{409}-5}{6}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{409}-5}{6} x=\frac{-\sqrt{409}-5}{6}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x-32=0$$

Прибавьте 32 к обеим частям уравнения.

$$3x^{2}+5x-32-\left(-32\right)=-\left(-32\right)$$

Если из -32 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}+5x=-\left(-32\right)$$

Вычтите -32 из 0.

$$3x^{2}+5x=32$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{32}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{32}{3}$$

Деление \frac{5}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{5}{6}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{6} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{32}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{32}{3}+\frac{25}{36}$$

Прибавьте \frac{32}{3} к \frac{25}{36}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{409}{36}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{409}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{409}{36}}$$

Упростите.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{409}}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{409}}{6}$$

Вычтите \frac{5}{6} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{409}-5}{6} x=\frac{-\sqrt{409}-5}{6}$$