Решить 28k^2+k-2=0

$$28 k ^ { 2 } + k - 2 = 0$$

Найдите k

$$k=\frac{1}{4}=0,25$$

$$k=-\frac{2}{7}\approx -0,285714286$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 28k^{2}+ak+bk-2. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=1 ab=28\left(-2\right)=-56$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 1.

$$a=-7 b=8$$

Перепишите 28k^{2}+k-2 как \left(28k^{2}-7k\right)+\left(8k-2\right).

$$\left(28k^{2}-7k\right)+\left(8k-2\right)$$

Разложите 7k в первом и 2 в второй группе.

$$7k\left(4k-1\right)+2\left(4k-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 4k-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(4k-1\right)\left(7k+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 4k-1=0 и 7k+2=0у.

$$k=\frac{1}{4} k=-\frac{2}{7}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$28k^{2}+k-2=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 28 вместо a, 1 вместо b и -2 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 28\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 28\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

Умножьте -4 на 28.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1-112\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

Умножьте -112 на -2.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2\times 28}$$

Прибавьте 1 к 224.

$$k=\frac{-1±\sqrt{225}}{2\times 28}$$

Извлеките квадратный корень из 225.

$$k=\frac{-1±15}{2\times 28}$$

Умножьте 2 на 28.

$$k=\frac{-1±15}{56}$$

Решите уравнение k=\frac{-1±15}{56} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1 к 15.

$$k=\frac{14}{56}$$

Привести дробь \frac{14}{56} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 14.

$$k=\frac{1}{4}$$

Решите уравнение k=\frac{-1±15}{56} при условии, что ± — минус. Вычтите 15 из -1.

$$k=-\frac{16}{56}$$

Привести дробь \frac{-16}{56} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$k=-\frac{2}{7}$$

Уравнение решено.

$$k=\frac{1}{4} k=-\frac{2}{7}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$28k^{2}+k-2=0$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$28k^{2}+k-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Если из -2 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$28k^{2}+k=-\left(-2\right)$$

Вычтите -2 из 0.

$$28k^{2}+k=2$$

Разделите обе части на 28.

$$\frac{28k^{2}+k}{28}=\frac{2}{28}$$

Деление на 28 аннулирует операцию умножения на 28.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k=\frac{2}{28}$$

Привести дробь \frac{2}{28} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k=\frac{1}{14}$$

Деление \frac{1}{28}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{56}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{56} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{56} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=\frac{1}{14}+\frac{1}{3136}$$

Прибавьте \frac{1}{14} к \frac{1}{3136}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=\frac{225}{3136}$$

Коэффициент k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}=\frac{225}{3136}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{3136}}$$

Упростите.

$$k+\frac{1}{56}=\frac{15}{56} k+\frac{1}{56}=-\frac{15}{56}$$

Вычтите \frac{1}{56} из обеих частей уравнения.

$$k=\frac{1}{4} k=-\frac{2}{7}$$